Математика / Начала анализа

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

Опубликовано: 19 октября 2026 г.Обновлено: 19 октября 2026 г.

Математический анализ Алгебра Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}

Схема Веса формулы трапеций

Вся взвешенная сумма умножается на h=0,25; получается 0,34375.

Обозначения

$T_n$: приближённое значение интеграла, единица функции × единица аргумента
$a,b$: границы интегрирования, a<b, единица аргумента
$n$: число равных промежутков, положительное целое, безразмерно
$h$: шаг равномерной сетки, единица аргумента
$f$: интегрируемая функция, единица функции
$i$: индекс внутреннего узла от 1 до n−1, безразмерно

Условия применения

Показанная запись относится к равномерной сетке из n промежутков и n+1 значения функции. Для сходимости достаточно непрерывности на конечном отрезке; для стандартной оценки ошибки через вторую производную требуется её существование, непрерывность и ограниченность на всём отрезке.

Ограничения

На неравномерной сетке нужно суммировать отдельные трапеции со своими ширинами, а не использовать общий h. При разрывах или узких пиках между узлами грубая сетка может пропустить важный вклад. Уменьшение шага не устраняет систематическую ошибку исходных измерений.

Подробное объяснение

Между двумя соседними узлами график заменяется прямой, соединяющей известные значения. Интеграл этой линейной функции равен ширине промежутка, умноженной на среднюю высоту концов. Если высоты отрицательны, вклад тоже отрицателен: речь идёт о знаковом интеграле.

При сложении всех трапеций каждое внутреннее значение участвует дважды с половинным весом — как правый конец одной трапеции и левый конец следующей. Поэтому его суммарный вес равен единице, а только два крайних значения сохраняют вес одной второй.

Для линейной функции аппроксимация совпадает с графиком, и правило даёт точный интеграл при любом числе промежутков. Для выпуклой функции хорды лежат выше графика, поэтому трапеции завышают интеграл. Для вогнутой гладкой функции направление ошибки меняется.

При ограниченной второй производной абсолютная ошибка не превосходит произведения длины отрезка, квадрата шага и максимума модуля второй производной, делённого на 12. Значит, двукратное уменьшение шага обычно уменьшает ведущую погрешность примерно в четыре раза, если гладкость достаточна.

Для измеренных данных формула интегрирует выбранную кусочно-линейную модель. Она не восстанавливает неизвестное поведение между точками. Поэтому проверка более частой сеткой оценивает именно дискретизацию, а точность прибора и смещение измерений требуют отдельного рассмотрения.

Как пользоваться формулой

Разделите отрезок на n равных промежутков и вычислите шаг; проверьте, что записано ровно n+1 узловое значение.
Сложите значения во внутренних узлах; не включайте в эту сумму крайние точки, которым нужны половинные веса.
Прибавьте половину суммы крайних значений и умножьте весь полученный результат на общий шаг сетки.
Проверьте единицы интеграла и, если возможно, повторите расчёт с вдвое меньшим шагом для оценки устойчивости.

Историческая справка

Правило трапеций соединяет элементарную геометрию с задачей квадратуры — вычисления площадей и определённых интегралов. Название описывает фигуру, возникающую при линейной интерполяции; отдельное изобретение современного составного правила одному человеку здесь не приписывается. В системе формул Ньютона–Котеса оно соответствует интерполяции первой степени по равноотстоящим узлам. Развитие анализа XVII–XIX веков позволило связывать геометрическое приближение с производными и оценками остатка, а численное интегрирование стало самостоятельной вычислительной задачей. Современный справочник NIST DLMF приводит как простые, так и составные квадратурные правила. В компьютерном расчёте старая геометрическая идея сохраняется, но к ней добавляются выбор сетки, контроль округления и проверка особенностей подынтегральной функции.

Историческая линия формулы

Формула трапеций — геометрическое квадратурное правило, входящее в семейство Ньютона–Котеса. На странице используется современная составная запись; она не означает, что элементарная идея трапеции или все способы контроля её ошибки имеют одного исторического автора.

Пример

Вычислим интеграл x² от 0 до 1 по четырём промежуткам. Шаг h = 0,25, узлы 0;0,25;0,5;0,75;1. Значения функции: 0;0,0625;0,25;0,5625;1. Сумма внутренних значений равна 0,875, половина суммы крайних — 0,5. Поэтому T₄ = 0,25 · (0,875 + 0,5) = 0,34375. Точный интеграл равен 1/3 ≈ 0,333333, абсолютная ошибка 1/96 ≈ 0,0104167. Результат завышен, что согласуется с выпуклостью x². Проверка оценки: максимум второй производной равен 2, поэтому (1 − 0) · 0,25² · 2/12 = 1/96. Здесь верхняя граница достигается, поскольку вторая производная постоянна. Аргумент и функция безразмерны, поэтому единиц у результата нет.

Частая ошибка

Не путайте число промежутков n с числом узлов n+1. Не присваивайте крайним значениям полный вес при составной записи. Не применяйте единый шаг к неравномерным данным. Не называйте интеграл геометрической площадью, если функция меняет знак. Не считайте малое изменение при уточнении сетки доказательством точности измерений.

Практика

Задачи с решением

Линейная точность

Условие. Примените трапеции к f(x) = 2x + 1 на [0;2] с n = 2.

Решение. h = 1, значения 1,3,5. Получаем T₂ = 1 · [(1 + 5)/2 + 3] = 6. Первообразная x² + x даёт тот же результат 6.

Ответ. 6, точно.

Уточнение сетки

Условие. Для x² на [0;1] найдите результат при n = 2 и ошибку относительно 1/3.

Решение. h = 0,5, значения 0;0,25;1. T₂ = 0,5 · (0,5 + 0,25) = 0,375. Ошибка 0,375 − 1/3 = 1/24 ≈ 0,0416667, вчетверо больше ошибки при n = 4.

Ответ. 0,375; ошибка 1/24.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://fncbook.com/integration/

Связанные формулы

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

Математика

Формула Ньютона-Лейбница

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.

Математика

Площадь под графиком

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.