Математика / Алгебра
Основное свойство пропорции
Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Формула
Обозначения
- a, b, c, d
- члены пропорции, при этом b и d не равны нулю
Условия применения
- Пропорция записана как равенство двух отношений a/b = c/d.
- Знаменатели b и d не равны нулю.
- Все величины в отношениях сопоставимы: например, длина с длиной, цена с количеством, масштаб с расстоянием.
Ограничения
- Нельзя применять свойство, если хотя бы один знаменатель равен нулю.
- Перемножать нужно именно крайние и средние члены, а не соседние числа без учета их места в пропорции.
- Если отношения составлены из величин разных типов, сначала нужно проверить смысл пропорции.
Подробное объяснение
Пропорция означает равенство двух отношений. Запись a/b = c/d говорит, что дроби выражают одну и ту же часть или один и тот же коэффициент сравнения. Основное свойство переводит это равенство в форму ad = bc, где уже нет дробной черты. Вывод получается умножением обеих частей пропорции на произведение знаменателей bd. В левой части сокращается b, в правой сокращается d, и остается ad = bc. Так как умножение выполнено на ненулевые величины, равенство не меняет смысла. Если одно из чисел в пропорции неизвестно, свойство превращает задачу в линейное уравнение. Например, x/6 = 5/3 дает 3x = 30. Дальше остается разделить обе части на коэффициент при x. В задачах на масштаб и подобие пропорция сохраняет одинаковое отношение двух пар величин. В задачах на проценты она связывает часть и целое. В каждом случае важно правильно расположить величины в дробях, чтобы одинаковые типы величин стояли в одинаковых местах. Свойство работает в обе стороны: если ad = bc и b, d не равны нулю, то можно записать пропорцию a/b = c/d. Это удобно при проверке ответа.
Как пользоваться формулой
- Запишите пропорцию в виде равенства двух дробей.
- Перемножьте крайние и средние члены.
- Составьте уравнение ad = bc.
- Решите полученное уравнение.
Историческая справка
Пропорции изучались задолго до современной алгебры. В древней математике они возникали в задачах на измерение, обмен, строительство и подобие фигур. В античной геометрии теория отношений и пропорций получила строгую форму в «Началах» Евклида, где пропорции служили языком сравнения величин. В средневековой арифметике и торговой практике пропорции применяли для пересчета цен, долей и мер. Современная запись с дробями и буквами появилась после развития алгебраической символики. Школьное равенство ad = bc сохраняет древнюю идею равных отношений, но записывает ее коротко и удобно для решения уравнений. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.
Пример
Задача: найти x из пропорции x/8 = 15/12. Дано: x/8 и 15/12 - равные отношения, знаменатели 8 и 12 не равны нулю. По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: 12x = 8*15. Считаем: 12x = 120, значит x = 120/12 = 10. Ответ: x = 10. Проверка: 10/8 = 1,25 и 15/12 = 1,25, отношения совпадают. Если перепутать пары и записать 8x = 12*15, получится другое число, которое проверку исходной пропорцией не пройдет. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.
Частая ошибка
Частая ошибка - перемножить не те члены пропорции. В a/b = c/d крайние члены a и d, средние b и c. Еще забывают, что b и d не могут равняться нулю. В текстовых задачах опасно составлять дроби в разном порядке: например, в одной дроби длина к цене, а в другой цена к длине. Перед вычислением стоит подписать каждое отношение словами.
Практика
Задачи с решением
Найти неизвестный член пропорции
Условие. Решите пропорцию x/9 = 4/3.
Решение. По свойству пропорции 3x = 9*4 = 36, поэтому x = 12. Проверка: 12/9 = 4/3.
Ответ. x = 12
Применить пропорцию к масштабу
Условие. На плане 2 см соответствуют 5 м. Какой длине соответствует 6 см?
Решение. Составим пропорцию 2/5 = 6/x. Тогда 2x = 30, x = 15 м.
Ответ. 15 м
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
- ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»
Связанные формулы
Математика
Корень линейного уравнения ax + b = 0
Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.