Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Средняя квадратичная скорость молекул

Средняя квадратичная скорость vᵣₘₛ = √(3RT/M) характеризует корень из среднего квадрата скоростей молекул идеального газа. Это статистическая скорость в м/с, а не скорость потока газа.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМолекулярная физикаКалькуляторЕсть историческая справкаТермодинамика

Формула

$$v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$
Схема скоростей Быстрое хаотическое движение
v_rms = sqrt(3RT/M)

Макроскопический покой газа не означает покоя молекул.

Обозначения

$v_с.кв.$
средняя квадратичная скорость молекул, м/с
$R$
универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$T$
абсолютная температура газа, К
$M$
молярная масса газа, кг/моль

Условия применения

  • Газ находится в равновесии и достаточно разрежен для идеальной модели.
  • T в К, M в кг/моль, R = 8,314462618 Дж/(моль·К).
  • vᵣₘₛ относится к поступательному движению и определяется через ⟨v²⟩.

Ограничения

  • vᵣₘₛ не равна средней и наиболее вероятной скоростям: для распределения Максвелла это разные величины.
  • В неравновесном газе или при сильном взаимодействии частиц распределение может быть не максвелловским.
  • Нельзя подставлять M в г/моль: это изменит ответ в √1000 раз.

Подробное объяснение

Средняя квадратичная скорость определяется как vᵣₘₛ = √⟨v²⟩. Квадрат скорости входит в кинетическую энергию, поэтому для молекулы m₀vᵣₘₛ²/2 = 3kT/2. После перехода от массы одной частицы к молярной массе получаем vᵣₘₛ = √(3RT/M).

Формула показывает, что скорость растёт как √T и уменьшается как 1/√M. Нагрев с 300 до 1200 К увеличивает vᵣₘₛ в два раза, а замена газа на вещество с молярной массой в четыре раза больше уменьшает скорость в два раза. Температура — только К; шкала Цельсия здесь не используется напрямую.

Это не скорость движения сосуда или струи. Газ может быть макроскопически неподвижен, а его молекулы продолжают хаотически двигаться во всех направлениях. Также vᵣₘₛ не является скоростью каждой молекулы: распределение Максвелла содержит широкий диапазон скоростей.

Единицы проверяются внутри корня: R·T имеет Дж/моль = кг·м²/(с²·моль), деление на кг/моль даёт м²/с², после корня — м/с. Поэтому M=32 г/моль надо записать как 0,032 кг/моль.

Связь с энергией особенно полезна: при одинаковой температуре средняя поступательная энергия молекул одинакова, но более лёгкий газ имеет большую характерную скорость. Связь с давлением возникает потому, что удары стенок зависят от среднего квадрата скорости, а не от одной выбранной частицы.

Как пользоваться формулой

  1. Переведите T в К, а M из г/моль в кг/моль.
  2. Запишите R=8,314462618 Дж/(моль·К) и проверьте, что речь идёт о газе.
  3. Вычислите безразмерное отношение 3RT/M под корнем.
  4. Извлеките квадратный корень и укажите результат в м/с.
  5. Сравните зависимости: рост T повышает скорость, рост M понижает её.
  6. Не подменяйте vᵣₘₛ средней или наиболее вероятной скоростью без отдельной формулы.

Историческая справка

Средняя квадратичная скорость стала естественной величиной кинетической теории, когда газ начали описывать как множество движущихся частиц. Рудольф Клаузиус в XIX веке связал давление с движением молекул; Джеймс Клерк Максвелл в работе 1860 года представил распределение скоростей; Людвиг Больцман развил статистическое описание. Из равенства средней поступательной энергии 3kT/2 и связи R=N_Ak следует vᵣₘₛ = √(3RT/M). Экспериментальные исследования молекулярных пучков и диффузии позднее дали способы сравнивать характерные скорости с наблюдаемыми процессами. В современных курсах эта величина сохраняется потому, что напрямую входит в выражения для энергии и давления идеального газа, но рядом всегда указывают отличие от средней и наиболее вероятной скоростей. Исторически это пример перехода от качественной гипотезы о тепле к статистическому измеримому описанию.

Историческая линия формулы

Формула не принадлежит одному автору: её физический смысл вырос из кинетической теории Клаузиуса, распределения Максвелла и статистической механики Больцмана. Запись через R и M получается из базовой связи энергии, постоянных k и N_A.

Пример

Для кислорода O₂ при T = 300 К берём M = 32,00 г/моль = 0,03200 кг/моль. Тогда vᵣₘₛ = √(3RT/M) = √(3 · 8,314462618 · 300/0,03200) = √233 844,3 м²/с² = 483,574 м/с. Ответ: vᵣₘₛ ≈ 4,84 · 10² м/с. Проверка единиц даёт м/с после корня. Если при той же температуре взять газ с M = 0,128 кг/моль, отношение масс равно 4, поэтому скорость будет 483,574/2 ≈ 241,787 м/с. Это подтверждает закон обратного корня. Полученное значение нельзя трактовать как скорость потока или как одинаковую скорость всех молекул: это статистическая характеристика равновесного распределения. При обратной проверке подстановка значения v² в m₀v²/2 должна дать 3kT/2, если масса одной молекулы согласована с M/Nₐ.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять M в г/моль: для кислорода нужно 0,032 кг/моль, а не 32. Вторая ошибка - путать среднюю квадратичную скорость с наиболее вероятной sqrt(2RT/M) или средней скоростью. Еще одна ошибка - использовать градусы Цельсия. Также важно помнить, что скорость молекул хаотическая, поэтому макроскопический газ может покоиться, хотя молекулы движутся быстро.

Практика

Задачи с решением

Гелий при 300 К

Условие. Для He M = 0,00400 кг/моль и T = 300 К. Найдите vᵣₘₛ.

Решение. v = √(3 · 8,314462618 · 300/0,00400) = √1 870 754,1 = 1367,76 м/с.

Ответ. vᵣₘₛ≈1,37 · 10³ м/с

Нагрев газа

Условие. Температуру газа увеличили с 300 К до 1200 К. Во сколько раз выросла vᵣₘₛ?

Решение. vᵣₘₛ∝√T, поэтому √(1200/300) = √4 = 2.

Ответ. в 2 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax, University Physics Volume 2, 2.2 Pressure, Temperature, and RMS Speed, https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/2-2-pressure-temperature-and-rms-speed
  • NIST, Boltzmann constant and gas constant, https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k and https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r
  • Maxwell, Illustrations of the Dynamical Theory of Gases (1860), https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786446008642818
  • BIPM, SI Brochure, SI units, https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure

Связанные формулы

Физика

Распределение Максвелла по скоростям

$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-mv^2/(2kT)}$

Распределение Максвелла задает долю молекул идеального газа, имеющих скорости около заданного значения v при температуре T.

Физика

Наиболее вероятная скорость молекул

$v_{\text{нв}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$

Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответствует максимуму распределения Максвелла по модулю скорости. Она не совпадает со средней скоростью.

Физика

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

$p=\frac{1}{3}nm_0\langle v^2\rangle=\frac{1}{3}\rho v_{rms}^2$

Основное уравнение МКТ связывает давление газа с массой молекулы, концентрацией и средним квадратом скорости: p=nm0⟨v²⟩/3. В форме через плотность запись принимает вид p=ρv²/3, где v — средняя квадратичная скорость.