Все формулы РФ

Математика

Графы, логика

графы, логика, комбинаторика

20 формул

Формулы темы

Правило суммы в комбинаторике

Формула описывает прием «сложение несовместных случаев» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$N=m_1+m_2+\cdots+m_k$

Правило произведения в комбинаторике

Формула описывает прием «умножение последовательных шагов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$N=m_1m_2\cdots m_k$

Число перестановок без повторений

Формула описывает прием «перестановки разных объектов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$P_n=n!$

Число размещений без повторений

Формула описывает прием «упорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Число сочетаний без повторений

Формула описывает прием «неупорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Бином Ньютона для конечной степени

Формула описывает прием «биномиальное разложение» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k$

Формула включений и исключений для двух множеств

Формула включений и исключений для двух множеств считает размер объединения A и B: складывает мощности множеств и один раз вычитает их пересечение. Она нужна, когда объект может иметь оба признака сразу, поэтому простая сумма дает двойной счет.

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Формула включений и исключений для трех множеств

Формула включений и исключений для трех множеств считает элементы, попавшие хотя бы в одно из A, B или C. Она складывает три мощности, вычитает попарные пересечения и возвращает тройное пересечение, чтобы каждый объект был учтен ровно один раз.

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

Рекуррентная формула чисел Фибоначчи

Формула описывает прием «рекуррентное сложение» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Число ребер полного графа

Формула описывает прием «подсчет пар вершин» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$E(K_n)=\binom n2=\frac{n(n-1)}2$

Перестановки с повторениями: одинаковые элементы

Число различных упорядоченных записей из заданного набора элементов, среди которых есть одинаковые. Формула делит все перестановки на перестановки внутри каждой группы неразличимых элементов.

$P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!},\qquad n_1+\cdots+n_r=n$

Сочетания с повторениями: метод звёзд и перегородок

Формула считает наборы из k элементов n видов, когда один вид разрешено выбирать несколько раз, а порядок выбора не важен. Эквивалентная задача — распределить k одинаковых предметов по n различимым ящикам.

$\overline C_n^k=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

Беспорядки: перестановки без неподвижных точек

Беспорядок — перестановка, в которой ни один элемент не остаётся на своём первоначальном месте. Формула включений и исключений считает такие перестановки и помогает находить вероятность полного несовпадения.

$D_n=n!\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^j}{j!}$

Числа Каталана: правильные скобочные последовательности

Число Каталана Cₙ считает правильные последовательности из n пар скобок одного вида. В каждом начальном фрагменте открывающих скобок должно быть не меньше закрывающих, а в полной записи их количества равны.

$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$

Числа Стирлинга второго рода: разбиение на группы

Число Стирлинга второго рода S(n,k) показывает, сколькими способами можно разбить n различных элементов на k непустых неименованных групп. Рекурсия отделяет добавление элемента в старую группу от создания новой.

$S(n,k)=kS(n-1,k)+S(n-1,k-1)$

Числа Белла: все разбиения множества на группы

Число Белла считает все способы разделить различимые элементы на непустые непересекающиеся группы. Число групп заранее не задано, их порядок и порядок элементов внутри группы не учитываются.

$B_n=\sum_{k=0}^{n}S(n,k),\qquad B_0=1$

Числа Стирлинга первого рода: циклы перестановки

Беззнаковые числа Стирлинга первого рода считают перестановки n различных элементов, состоящие ровно из k циклов. Рекурсия отделяет новый одноэлементный цикл от вставки элемента в существующий цикл.

$c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)$

Круговые перестановки: рассадка за круглым столом

Число круговых перестановок n различных объектов равно (n−1)!, если повороты всей расстановки считаются одинаковыми. Зеркальное отражение при этом обычно даёт другой порядок соседей.

$P_{\mathrm{circle}}(n)=\frac{n!}{n}=(n-1)!,\qquad n\ge1$

Число сюръекций: распределение без пустых ящиков

Сюръективное отображение отправляет n различимых объектов в k различимых ящиков так, чтобы каждый ящик был занят. Формула считает такие распределения через числа Стирлинга или включения и исключения.

$N(n,k)=k!S(n,k)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}(k-j)^n$

Формула Кэли: число деревьев с помеченными вершинами

Формула Кэли считает неориентированные деревья на заданных n различных вершинах: связные графы без циклов. Метки вершин сохраняются, а расположение рисунка на плоскости не создаёт новых деревьев.

$T_n=n^{n-2},\qquad n\ge2$