Математика: темы
Среднее, медиана
среднее, медиана, размах
11 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Классическая вероятность события | $P(A)=\frac{m}{n}$ | Вероятность и статистика | Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте. |
| Гармоническое среднее: скорости на равных участках | $H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$ | Описательная статистика | Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке. |
| Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения | $G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$ | Описательная статистика | Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую. |
| Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке | $g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых. |
| Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент | $g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3. |
| Неравенство Чебышёва: граница вероятности отклонения | $P(|X-\mu|\ge a)\le\min\left(1,\frac{\sigma^2}{a^2}\right),\qquad a>0$ | Описательная статистика | Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность отклонения случайной величины от её среднего через дисперсию. Оно не требует нормального распределения и даёт верхнюю границу, а не точную вероятность события. |
| Корреляция Спирмена: связь между рангами величин | $r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов. |
| Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары | $\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей. |
| Медианное абсолютное отклонение MAD: устойчивый разброс | $m=\operatorname{med}(x_1,\ldots,x_n),\qquad MAD=\operatorname{med}_{i}|x_i-m|$ | Описательная статистика | MAD — медиана абсолютных расстояний наблюдений от медианы выборки. Эта мера разброса меньше реагирует на отдельные крайние значения, чем стандартное отклонение, и сохраняет единицы исходной величины. |
| Усечённое среднее: симметричное удаление крайних значений | $\bar{x}_{\mathrm{trim}}=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}$ | Описательная статистика | Усечённое среднее получают, удалив одинаковое число наименьших и наибольших наблюдений, а затем усреднив оставшиеся. Параметр k задаёт число удалений с каждого края, а не общее число отброшенных значений. |
| Винзоризированное среднее: замена крайних значений | $\bar{x}_W=\frac{kx_{(k+1)}+\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}+kx_{(n-k)}}{n}$ | Описательная статистика | Винзоризированное среднее ограничивает влияние хвостов: k нижних значений заменяют ближайшей оставшейся границей, k верхних — верхней границей. Количество наблюдений и знаменатель n сохраняются. |