Машиностроение / Передачи

Кинематика цепной передачи

Скорость цепи связывает геометрию звёзд и вращение вала, а отношение чисел звеньев определяет передаточное число. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Детали машин Передачи

Формула

v=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60},\quad i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}

diagram Кинематическая схема цепного привода

Две звезды и рабочая ветвь цепи с пояснением равенства касательных скоростей.

Одинаковая линейная скорость на звездочках обеспечивает передачу без проскальзывания.

Обозначения

$v$: Линейная скорость цепи, м/с
$p$: Шаг цепи, м
$z_1$: Число зубьев ведущей звезды, шт
$z_2$: Число зубьев ведомой звезды, шт
$n_1$: Скорость ведущей звезды, об/мин
$n_2$: Скорость ведомой звезды, об/мин
$i$: Передаточное отношение цепной передачи, безразмерное

Когда применять

Используется для синхронизации частот вращения и подбора звёзд, цепей и натяжителей. Расчет применяют на раннем подборе редуктора, зубчатой пары, ременной или цепной передачи, когда нужно согласовать скорость двигателя с требуемой скоростью рабочего органа. Важно сразу указать, какая величина задана на входе, какая нужна на выходе, учитываются ли КПД, скольжение, число зубьев, диаметр шкива или несколько ступеней.

Условия применения

Подбор шага p делается по стандартному ряду по нагрузке и мощности.
Передаточное отношение задается без учета ударных переходов.
Перед стартом цепь должна быть натянута в рабочем положении.

Ограничения

Для длинных цепей необходимо учитывать растяжение и ось-сжатие звеньев.
Реальные КПД и сыпучие удары снижают точность по n₂.
При малом числе зубьев допустимо учитывать поправки цепного профиля.

Подробное объяснение

Касательная скорость одинакова на обоих звёздах в идеальном контакте, поэтому обе части формулы эквивалентны. Для страницы «Кинематика цепной передачи» расчет начинается с выбора направления передачи мощности. Входной вал, ведущая шестерня, шкив или звездочка должны быть отделены от выходного элемента, потому что обратное отношение дает другой инженерный смысл. Формула v=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60},\quad i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1} описывает кинематическую или энергетическую связь при выбранной схеме и не должна применяться без этой привязки. Физический смысл результата связан с сохранением мощности с учетом потерь. Если передача снижает скорость вращения, крутящий момент на выходе обычно растет, но только после учета КПД. Если скорость повышается, момент уменьшается. Для ременной передачи дополнительно проверяют скольжение, а для цепной и зубчатой передачи - число зубьев, делительную окружность и допустимые обороты. Единицы должны быть согласованы. Скорость вращения в об/мин можно использовать в отношениях, если обе скорости заданы одинаково; для мощности P=Mω угловая скорость нужна в рад/с. Диаметры шкивов и колес должны быть в одной единице, а КПД подставляют как долю единицы, если в формуле нет множителя 100%. Практическая проверка делается по направлению изменения. При i>1 редуктор должен давать меньшую выходную скорость, а при i<1 - повышающую передачу. Для многоступенчатой схемы частные отношения и КПД перемножают по ступеням, а затем проверяют, что итоговая скорость и мощность физически достижимы для выбранного узла. Ограничения расчета связаны с тем, что формула описывает идеализированную кинематику или энергетический баланс. Реальная конструкция требует проверки прочности зубьев, натяжения ремня или цепи, нагрева, смазки, шума, ресурса подшипников и допустимых динамических нагрузок.

Как пользоваться формулой

Определите входной и выходной элементы передачи, чтобы не перевернуть отношение.
Запишите исходные скорости, диаметры, числа зубьев, момент, мощность или КПД в согласованных единицах.
Выберите нужную форму формулы и подставьте значения без смешения процентов и долей единицы.
Проверьте направление изменения: редукция уменьшает скорость и увеличивает момент только с учетом потерь.
Сравните результат с конструктивными ограничениями: допустимые обороты, нагрузка, скольжение, нагрев и ресурс.

Историческая справка

Кинематические зависимости цепных передач базируются на геометрии звеньев и используются почти во всех машиностроительных справочниках по механизмам. Практика расчета передач развивалась вместе с промышленными машинами XVIII-XIX веков, когда паровые машины, станки и позже электродвигатели потребовали надежно согласовывать скорость источника энергии с рабочим органом. Зубчатые, ременные и цепные передачи стали стандартными элементами машин, а инженерные школы оформили их расчет через кинематику, мощность, момент и КПД. В XX веке эти зависимости закрепились в учебниках по деталям машин и проектированию механизмов, где простые формулы стали первым этапом перед расчетом прочности, ресурса, смазки и теплового режима. Современная запись сохраняет этот порядок: сначала проверяют кинематику и энергетический баланс, затем переходят к конструктивным ограничениям.

Историческая линия формулы

Распространены с эпохи тракторостроения и тяжелых машин как надежный вариант передачи моментного потока. Единственного автора у этой расчетной записи нет: она относится к классической инженерной традиции машиноведения, теории механизмов и деталей машин. Современный вид формулы сформировался в учебной и проектной литературе по зубчатым, ременным и цепным передачам.

Пример

Дано: шаг цепи p=12,7 мм, ведущая звездочка z1=19, скорость n1=600 об/мин, ведомая звездочка z2=38. Нужно найти скорость цепи и n2. Подстановка: v=pz1n1/60=0,0127*19*600/60=2,41 м/с. Передаточное отношение i=z2/z1=38/19=2, значит n2=600/2=300 об/мин. Ответ: скорость цепи 2,41 м/с, ведомая звездочка 300 об/мин. Проверка: ведомая звездочка вдвое больше по зубьям, поэтому вращается вдвое медленнее. Дополнительная проверка: все скорости сравниваются в одинаковых единицах, КПД используется как доля единицы, а итог не должен противоречить назначению передачи. Для понижающей ступени выходная скорость меньше входной; рост момента возможен только вместе с потерями мощности. Если результат выглядит обратным, сначала проверьте, не перепутаны ли ведущий и ведомый элементы.

Частая ошибка

Нельзя подставлять значение z₂ в формулу для скорости цепи, если считаете ведущую скорость: используйте z₁ с n₁. Часто путают вход и выход: для редуктора отношение n1/n2 больше единицы, а обратная запись меняет смысл результата. Еще одна ошибка - подставлять КПД как 95 вместо 0,95 в формулах мощности и момента. Для P=Mω нельзя смешивать об/мин и рад/с без перевода. В ременной передаче отдельно учитывают скольжение, а в цепной и зубчатой - число зубьев, а не наружный диаметр случайной детали. Проверяйте направление изменения: скорость, момент и мощность должны вести себя согласованно.

Практика

Задачи с решением

Нахождение скорости цепи

Условие. p=0,015 м, z₁=25, n₁=900 об/мин.

Решение. v = 0,015×25×900/60 = 5,625 м/с.

Ответ. v = 5,63 м/с.

Передаточное отношение цепной передачи

Условие. z₁=15, z₂=45, n₁=1800 об/мин.

Решение. i = z₂/z₁ = 3, n₂ = n₁/i = 600 об/мин.

Ответ. i=3, n₂=600 об/мин.

Дополнительные источники

Norton, R. L. (2020). Design of Machinery.
Shigley, R. L.; Mischke, C. R.; Budynas, J. K. (2015). Mechanical Engineering Design.
Budynas R. G., Nisbett J. K. Shigley’s Mechanical Engineering Design, 11th ed., chapters on gears, shafts and power transmission.
Norton R. L. Design of Machinery, 6th ed., chapters on gear trains, belt drives and chain drives.
Juvinall R. C., Marshek K. M. Fundamentals of Machine Component Design, 5th ed., sections on machine elements and transmissions.

Связанные формулы

Машиностроение

Скорость по окружности зубчатой и ременной передачи

$v=\frac{\pi D_1 n_1}{60}=\frac{\pi D_2 n_2}{60}=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60}$

Показатель скоростной среды на рабочей поверхности важен для проверки износа, шума и допустимых касательных скоростей. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Машиностроение

Передача по шагу зубчатой/цепной звёздочки

$i = \frac{z_2}{z_1}=\frac{D_2}{D_1},\quad M_2\approx\eta\,i\,M_1$

Если известны количества зубьев или шаговые диаметры, можно найти геометрическое и крутильное передаточное отношение пары.

Машиностроение

Ременная передача: отношение скоростей

$\frac{n_2}{n_1}=\frac{d_1}{d_2}(1-s),\quad n_2=\frac{d_1(1-s)}{d_2}n_1$

В ременных передачах геометрический эффект даёт базовое отношение по диаметрам, а практический учёт проскальзывания снижает выходную скорость.

Машиностроение

Базовое передаточное отношение передачи

$i = \frac{n_1}{n_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{D_2}{D_1}=\frac{z_2}{z_1}$

Передаточное отношение показывает во сколько раз меняется скорость вращения и крутящий момент между входным и выходным валами редуктора или другой кинематической цепи.