Машиностроение / Передачи

Скорость по окружности зубчатой и ременной передачи

Показатель скоростной среды на рабочей поверхности важен для проверки износа, шума и допустимых касательных скоростей. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Детали машин

Формула

v=\frac{\pi D_1 n_1}{60}=\frac{\pi D_2 n_2}{60}=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60}

diagram Пункт касания цепи/зубьев

Диаграмма касательной скорости на рабочей окружности ведущего и ведомого звеньев.

Для нормальной работы скорость должна соответствовать допускаемым для данного материала.

Обозначения

$v$: Линейная скорость касательной точки, м/с
$D_1$: Диаметр ведущего колеса, м
$D_2$: Диаметр ведомого колеса, м
$n_1$: Скорость ведущего, об/мин
$n_2$: Скорость ведомого, об/мин
$p$: Шаг цепи или ремня (или эквивалентный шаг зуба), м
$z_1$: Число зубьев звена/звездочки 1, шт
$z_2$: Число зубьев звена/звездочки 2, шт

Когда применять

Применяется для передачи на шестернях и цепях, где требуется оценить динамическое нагружение и расход мощности. Расчет применяют на раннем подборе редуктора, зубчатой пары, ременной или цепной передачи, когда нужно согласовать скорость двигателя с требуемой скоростью рабочего органа. Важно сразу указать, какая величина задана на входе, какая нужна на выходе, учитываются ли КПД, скольжение, число зубьев, диаметр шкива или несколько ступеней.

Условия применения

Величины в формуле должны быть в согласованных единицах.
Для ремня и цепи использовать фактический шаг p.
Скорость берётся в установившемся цикле.

Ограничения

Не учитывает динамику старта/торможения и ударные перегрузки.
Для цепи требуется проверка удлинения и кинематических зазоров отдельно.
При высоких скоростях лучше использовать поправочные эмпирические факторы.

Подробное объяснение

Окружная скорость одинакова по точкам контакта в зацеплении, поэтому формулы на diametrе и через скорость звеньев эквивалентны. Для страницы «Скорость по окружности зубчатой и ременной передачи» расчет начинается с выбора направления передачи мощности. Входной вал, ведущая шестерня, шкив или звездочка должны быть отделены от выходного элемента, потому что обратное отношение дает другой инженерный смысл. Формула v=\frac{\pi D_1 n_1}{60}=\frac{\pi D_2 n_2}{60}=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60} описывает кинематическую или энергетическую связь при выбранной схеме и не должна применяться без этой привязки. Физический смысл результата связан с сохранением мощности с учетом потерь. Если передача снижает скорость вращения, крутящий момент на выходе обычно растет, но только после учета КПД. Если скорость повышается, момент уменьшается. Для ременной передачи дополнительно проверяют скольжение, а для цепной и зубчатой передачи - число зубьев, делительную окружность и допустимые обороты. Единицы должны быть согласованы. Скорость вращения в об/мин можно использовать в отношениях, если обе скорости заданы одинаково; для мощности P=Mω угловая скорость нужна в рад/с. Диаметры шкивов и колес должны быть в одной единице, а КПД подставляют как долю единицы, если в формуле нет множителя 100%. Практическая проверка делается по направлению изменения. При i>1 редуктор должен давать меньшую выходную скорость, а при i<1 - повышающую передачу. Для многоступенчатой схемы частные отношения и КПД перемножают по ступеням, а затем проверяют, что итоговая скорость и мощность физически достижимы для выбранного узла. Ограничения расчета связаны с тем, что формула описывает идеализированную кинематику или энергетический баланс. Реальная конструкция требует проверки прочности зубьев, натяжения ремня или цепи, нагрева, смазки, шума, ресурса подшипников и допустимых динамических нагрузок.

Как пользоваться формулой

Определите входной и выходной элементы передачи, чтобы не перевернуть отношение.
Запишите исходные скорости, диаметры, числа зубьев, момент, мощность или КПД в согласованных единицах.
Выберите нужную форму формулы и подставьте значения без смешения процентов и долей единицы.
Проверьте направление изменения: редукция уменьшает скорость и увеличивает момент только с учетом потерь.
Сравните результат с конструктивными ограничениями: допустимые обороты, нагрузка, скольжение, нагрев и ресурс.

Историческая справка

Вывод прям из кинематического соотношения между угловой и линейной скоростью используется с момента формирования теории зубчатых кинематик. Практика расчета передач развивалась вместе с промышленными машинами XVIII-XIX веков, когда паровые машины, станки и позже электродвигатели потребовали надежно согласовывать скорость источника энергии с рабочим органом. Зубчатые, ременные и цепные передачи стали стандартными элементами машин, а инженерные школы оформили их расчет через кинематику, мощность, момент и КПД. В XX веке эти зависимости закрепились в учебниках по деталям машин и проектированию механизмов, где простые формулы стали первым этапом перед расчетом прочности, ресурса, смазки и теплового режима. Современная запись сохраняет этот порядок: сначала проверяют кинематику и энергетический баланс, затем переходят к конструктивным ограничениям.

Историческая линия формулы

Основано на базовых связях S = rω и S = (Dπ)ω/2, применяемых в общем курсе сопротивления материалов и машиностроения. Единственного автора у этой расчетной записи нет: она относится к классической инженерной традиции машиноведения, теории механизмов и деталей машин. Современный вид формулы сформировался в учебной и проектной литературе по зубчатым, ременным и цепным передачам.

Пример

Дано: диаметр делительной окружности D=0,16 м, скорость вращения n=1200 об/мин. Нужно найти окружную скорость. Подстановка: v=πDn/60=3,1416*0,16*1200/60=10,05 м/с. Ответ: окружная скорость около 10,1 м/с. Проверка единиц: метр умножается на обороты в минуту и делится на 60 секунд; оборот учитывается множителем πD как длина окружности. Для зацепления второй элемент должен иметь ту же окружную скорость без проскальзывания. Дополнительная проверка: все скорости сравниваются в одинаковых единицах, КПД используется как доля единицы, а итог не должен противоречить назначению передачи. Для понижающей ступени выходная скорость меньше входной; рост момента возможен только вместе с потерями мощности. Если результат выглядит обратным, сначала проверьте, не перепутаны ли ведущий и ведомый элементы.

Частая ошибка

Неверное использование радиуса вместо диаметра даёт вдвое заниженный результат. Часто путают вход и выход: для редуктора отношение n1/n2 больше единицы, а обратная запись меняет смысл результата. Еще одна ошибка - подставлять КПД как 95 вместо 0,95 в формулах мощности и момента. Для P=Mω нельзя смешивать об/мин и рад/с без перевода. В ременной передаче отдельно учитывают скольжение, а в цепной и зубчатой - число зубьев, а не наружный диаметр случайной детали. Проверяйте направление изменения: скорость, момент и мощность должны вести себя согласованно.

Практика

Задачи с решением

Расчёт скорости звена

Условие. D₁=0,15 м, n₁=900 об/мин.

Решение. v=\pi·0,15·900/60=7,07 м/с.

Ответ. v = 7,07 м/с.

Проверка цепной касательной скорости

Условие. p=0,015 м, z₁=20, n₁=1200 об/мин.

Решение. v=0,015·20·1200/60 = 6 м/с.

Ответ. v = 6 м/с.

Дополнительные источники

Norton, R. L. (2020). Design of Machinery.
Shigley, R. L.; Mischke, C. R.; Budynas, J. K. (2015). Mechanical Engineering Design.
Budynas R. G., Nisbett J. K. Shigley’s Mechanical Engineering Design, 11th ed., chapters on gears, shafts and power transmission.
Norton R. L. Design of Machinery, 6th ed., chapters on gear trains, belt drives and chain drives.
Juvinall R. C., Marshek K. M. Fundamentals of Machine Component Design, 5th ed., sections on machine elements and transmissions.

Связанные формулы

Машиностроение

Кинематика цепной передачи

$v=\frac{p z_1 n_1}{60}=\frac{p z_2 n_2}{60},\quad i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1}$

Скорость цепи связывает геометрию звёзд и вращение вала, а отношение чисел звеньев определяет передаточное число. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.

Машиностроение

Базовое передаточное отношение передачи

$i = \frac{n_1}{n_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{D_2}{D_1}=\frac{z_2}{z_1}$

Передаточное отношение показывает во сколько раз меняется скорость вращения и крутящий момент между входным и выходным валами редуктора или другой кинематической цепи.

Машиностроение

Ременная передача: отношение скоростей

$\frac{n_2}{n_1}=\frac{d_1}{d_2}(1-s),\quad n_2=\frac{d_1(1-s)}{d_2}n_1$

В ременных передачах геометрический эффект даёт базовое отношение по диаметрам, а практический учёт проскальзывания снижает выходную скорость.

Машиностроение

Выходная скорость после передачи

$n_2=\frac{n_1}{i},\quad \omega_2=\frac{\omega_1}{i}$

Формула позволяет быстро определить выходную угловую скорость при известном передаточном отношении и скорости входа. Расчет нужен для предварительного выбора передачи и проверки согласованности скорости, момента и мощности.