Экзамены
ОГЭ, страница 3
Формулы, которые часто нужны при подготовке к основному государственному экзамену.
281 формула
Таблица формул
Показаны 121-180 из 281. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Равносильные преобразования уравнения | $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ | Алгебра | Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент. |
| Прямая пропорциональность | $y = kx$ | Функции и графики | Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат. |
| График линейной функции по двум точкам | $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$ | Функции и графики | Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая. |
| Деление одночленов | $\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$ | Алгебра | Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней. |
| Коэффициент пропорциональности | $k=\frac{y}{x},\quad x\ne0$ | Функции и графики | Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз зависимая величина y отличается от ненулевой величины x в модели y = kx. |
| Свободный член линейной функции | $b=y-kx$ | Функции и графики | Свободный член b в линейной функции y = kx + b можно найти по известной точке графика и угловому коэффициенту. Она уточняет, какие величины входят в запись b=y-kx и какой результат получают после подстановки. |
| Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент | $y-y_1=k(x-x_1)$ | Функции и графики | Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки. |
| Сложение многочленов | $(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$ | Алгебра | При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки. |
| Вычитание многочленов | $P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$ | Алгебра | При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки. |
| Углы при параллельных прямых и секущей | $a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$ | Геометрия | При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов. |
| Признак параллельности прямых по углам | $\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$ | Геометрия | Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов. |
| Неравенство треугольника | $a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$ | Геометрия | В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам. |
| Сумма острых углов прямоугольного треугольника | $\alpha+\beta=90^\circ$ | Геометрия | В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки. |
| Степень частного двух выражений | $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$ | Алгебра | Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат суммы двух выражений | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат разности двух выражений | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность квадратов двух выражений | $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб суммы двух выражений | $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | Алгебра | Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб разности двух выражений | $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | Алгебра | Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Сумма кубов двух выражений | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | Алгебра | Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность кубов двух выражений | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ | Алгебра | Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Арифметический квадратный корень | $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ | Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ | Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | $x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$ | Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| Абсцисса вершины параболы | $x_0=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины. |
| Ордината вершины параболы | $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ | Функции и графики | Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции. |
| Ось симметрии параболы | $x=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам. |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Классическая вероятность события | $P(A)=\frac{m}{n}$ | Вероятность и статистика | Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением квадратных корней из этих множителей. |
| Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике | $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ | Тригонометрия | Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Средняя линия треугольника | $m = \frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Количество теплоты при нагревании | $Q = cm\Delta t$ | Термодинамика | Количество теплоты при нагревании или охлаждении тела без фазового перехода равно c·m·Δt и зависит от вещества, массы и изменения температуры. |
| Удельная теплота плавления | $Q = \lambda m$ | Термодинамика | Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно для плавления 1 кг вещества при температуре плавления без изменения температуры. |
| Удельная теплота парообразования | $Q = Lm$ | Термодинамика | Удельная теплота парообразования показывает энергию, необходимую для превращения 1 кг жидкости в пар при постоянной температуре. |
| Сила тока через заряд и время | $I = \frac{q}{t}$ | Электричество | Сила тока равна отношению электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени прохождения заряда. |
| Сопротивление проводника | $R = \rho \frac{l}{S}$ | Электричество | Сопротивление однородного проводника равно ρl/S: оно растет с длиной и удельным сопротивлением материала и уменьшается при большем сечении. |