Содержание
Есть историческая справка, страница 21
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1487 формул
Таблица формул
Показаны 1201-1260 из 1487. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Радиус движения заряженной частицы в магнитном поле | $r=\frac{mv}{|q|B}$ | Электричество | Радиус движения заряженной частицы в магнитном поле: формула r=\frac{mv}{|q|B} помогает величины r, m, v, q заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Коэффициент трансформации по числу витков | $\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}$ | Электричество | Коэффициент трансформации по числу витков: формула \frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1} помогает величины U_1, U_2, N_1, N_2 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Тензор малых деформаций в сплошной среде | $\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$ | Сплошные среды | Тензор малых деформаций описывает локальное растяжение, сжатие и сдвиг сплошной среды через производные перемещений. Он отделяет истинную деформацию от поворота малого элемента и служит основой линейной теории упругости. |
| Закон Гука для изотропного тела через модули Ламе | $\sigma_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}$ | Сплошные среды | Изотропный закон Гука через модули Ламе связывает тензор напряжений с тензором малых деформаций. Параметр mu отвечает за сдвиговую жесткость, а lambda задает вклад объемного изменения в нормальные напряжения. |
| Уравнение неразрывности для сжимаемой среды | $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$ | Сплошные среды | Уравнение неразрывности выражает локальное сохранение массы в сжимаемой среде. Оно связывает изменение плотности во времени с потоком массы через границы малого объема. |
| Число Рейнольдса для режима течения | $\mathrm{Re}=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu}$ | Сплошные среды | Число Рейнольдса сравнивает инерционные и вязкие эффекты в течении. Малые значения указывают на доминирование вязкости, большие - на существенную роль инерции и возможный переход к турбулентности. |
| Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения | $\tau=\mu\frac{dv}{dy}$ | Сплошные среды | Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение. |
| Градиент давления в гидростатике | $\nabla p=\rho\mathbf g$ | Сплошные среды | Гидростатический градиент давления показывает, как давление меняется в покоящейся жидкости под действием объемной силы тяжести. В вертикальной оси он приводит к привычной зависимости dp/dz=-rho g при z вверх. |
| Энтропия Больцмана через число микросостояний | $S=k_B\ln W$ | Статистическая физика | Формула Больцмана связывает энтропию макросостояния с числом микросостояний, которые его реализуют. Чем больше способов устроить систему без изменения наблюдаемых параметров, тем выше энтропия. |
| Каноническое распределение Гиббса | $P_i=\frac{e^{-E_i/(k_BT)}}{Z}$ | Статистическая физика | Каноническое распределение Гиббса задает вероятность микросостояния системы при тепловом равновесии с термостатом. Состояния с большей энергией подавляются экспоненциальным множителем Больцмана. |
| Статистическая сумма канонического ансамбля | $Z=\sum_i e^{-E_i/(k_BT)}$ | Статистическая физика | Каноническая статистическая сумма складывает больцмановские веса всех микросостояний системы. Она нормирует вероятности и служит исходной величиной для вычисления свободной энергии, средней энергии и теплоемкости. |
| Свободная энергия Гельмгольца через статистическую сумму | $F=-k_BT\ln Z$ | Статистическая физика | Формула связывает свободную энергию Гельмгольца канонической системы со статистической суммой. Она переводит микроскопический спектр состояний в термодинамический потенциал при фиксированных T, V и N. |
| Уравнение Пуассона для электростатического потенциала | $\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ | Электричество | Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал с объемной плотностью заряда. Оно показывает, что заряд является источником кривизны потенциала и позволяет находить электрическое поле через E=-grad phi. |
| Уравнение Лапласа для электростатического потенциала | $\nabla^2\varphi=0$ | Электричество | Уравнение Лапласа описывает электростатический потенциал в области, где нет объемного заряда. Потенциал там является гармонической функцией и полностью определяется граничными условиями. |
| Плотность энергии электромагнитного поля | $u=\frac12\left(\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)$ | Электричество | Плотность энергии электромагнитного поля показывает, сколько энергии содержится в единице объема поля. В вакууме вклад электрического поля пропорционален E^2, а вклад магнитного поля пропорционален B^2. |
| Вектор Пойнтинга для потока энергии поля | $\mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B$ | Электричество | Вектор Пойнтинга задает плотность потока электромагнитной энергии. Его направление показывает, куда переносится энергия поля, а модуль равен мощности, проходящей через единичную площадку. |
| Волновое уравнение электромагнитной волны | $\nabla^2\mathbf E-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0$ | Колебания и волны | Волновое уравнение электромагнитной волны описывает распространение электрического поля в пустом пространстве без зарядов и токов. Скорость волны равна c и определяется постоянными электродинамики. |
| Длина волны де Бройля для квантовой частицы | $\lambda=\frac{h}{p}$ | Колебания и волны | Длина волны де Бройля связывает импульс частицы с волновой характеристикой. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны и тем труднее наблюдать дифракцию частицы. |
| Соотношение неопределенностей Гейзенберга | $\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$ | Физические величины и измерения | Соотношение неопределенностей устанавливает нижнюю границу произведения разброса координаты и импульса. Оно отражает не техническую неточность прибора, а структуру квантовых состояний. |
| Энергия частицы в одномерной бесконечной яме | $E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\quad n=1,2,3,\ldots$ | Физические величины и измерения | Формула задает дискретные уровни энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Энергия растет как квадрат квантового числа и уменьшается как квадрат ширины ямы. |
| Закон Брэгга для дифракции на кристалле | $2d\sin\theta=n\lambda$ | Геометрическая оптика | Закон Брэгга задает условие конструктивной интерференции волн, отраженных от соседних кристаллических плоскостей. Он связывает межплоскостное расстояние, угол скольжения, порядок максимума и длину волны. |
| Погрешность косвенного измерения через частные производные | $u_f=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i}\right)^2}$ | Физические величины и измерения | Формула распространения неопределенности оценивает стандартную погрешность величины, найденной косвенно через измеренные аргументы. Частные производные показывают чувствительность результата к каждому входному измерению. |
| Гармоническое среднее: скорости на равных участках | $H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$ | Описательная статистика | Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке. |
| Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения | $G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$ | Описательная статистика | Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую. |
| Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке | $g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых. |
| Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент | $g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$ | Описательная статистика | Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3. |
| Неравенство Чебышёва: граница вероятности отклонения | $P(|X-\mu|\ge a)\le\min\left(1,\frac{\sigma^2}{a^2}\right),\qquad a>0$ | Описательная статистика | Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность отклонения случайной величины от её среднего через дисперсию. Оно не требует нормального распределения и даёт верхнюю границу, а не точную вероятность события. |
| Индекс Жаккара: сходство через пересечение множеств | $J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$ | Алгоритмы и анализ данных | Индекс Жаккара показывает долю общих элементов в объединении двух множеств. Он принимает значения от 0 до 1: ноль означает отсутствие пересечения, а единица — совпадение множеств. |
| Косинусное сходство векторов: формула и расчёт угла | $\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\,\lVert b\rVert}$ | Алгоритмы и анализ данных | Косинусное сходство сравнивает направление двух ненулевых векторов и принимает значения от −1 до 1. Для неотрицательных векторов оно показывает, насколько совпадает профиль признаков. |
| Расстояние Левенштейна: вставки, удаления и замены | $D(i,j)=\min\{D(i-1,j)+1,D(i,j-1)+1,D(i-1,j-1)+[a_i\ne b_j]\}$ | Алгоритмы и анализ данных | Расстояние Левенштейна — минимальное число вставок, удалений и замен стоимостью 1, превращающих одну строку в другую. Перестановка соседних символов отдельной операцией не считается. |
| Неравенство Крафта: длины двоичных префиксных кодов | $\sum_{i=1}^{m}2^{-l_i}\le 1$ | Кодирование информации | Неравенство Крафта проверяет, могут ли заданные длины двоичных слов образовать префиксный код: сумма 2 в степени минус длина не должна превышать единицу. |
| Двоичный поиск: максимальное число сравнений ключа | $C_{\max}(n)=\lfloor\log_2 n\rfloor+1,\quad n\ge1$ | Алгоритмы и анализ данных | Двоичный поиск в отсортированном массиве отбрасывает половину диапазона после каждого трехстороннего сравнения. В худшем случае для n≥1 требуется не более ⌊log₂ n⌋+1 итераций. |
| Отражение света при нормальном падении: формула Френеля | $R=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ | Геометрическая оптика | При нормальном падении света на границу двух прозрачных непоглощающих сред доля отражённой мощности равна квадрату отношения разности показателей преломления к их сумме. |
| Угол Брюстера: поляризация света при отражении от границы | $\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$ | Геометрическая оптика | При угле Брюстера отражённый p-компонент света исчезает: для двух непоглощающих немагнитных сред тангенс угла падения равен отношению показателей преломления второй и первой среды. |
| Критический угол: условие полного внутреннего отражения | $\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\quad n_1>n_2$ | Геометрическая оптика | Критический угол существует при переходе из среды с большим показателем преломления в меньший и задаётся синусом θc=n₂/n₁. При больших углах возникает полное внутреннее отражение. |
| Критерий Рэлея: угловое разрешение круглой апертуры | $\theta_{min}\approx1.22\frac{\lambda}{D}$ | Колебания и волны | Критерий Рэлея задаёт предельное угловое разрешение круглой апертуры: два точечных источника различимы на границе, когда θ≈1,22λ/D. |
| Дифракция на одиночной щели: углы тёмных минимумов | $a\sin\theta=m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,...$ | Колебания и волны | Минимумы одиночной щели возникают при a sinθ=mλ для ненулевых целых m; формула описывает разрушительную интерференцию волн от разных частей одной щели. |
| Закон Рауля: давление пара над раствором нелетучего вещества | $p=x_1p^*$ | Растворы | В идеальном растворе с нелетучим растворённым веществом парциальное давление растворителя равно его молярной доле, умноженной на давление чистого растворителя. |
| Повышение температуры кипения: расчёт по моляльности | $\Delta T_b=iK_bm$ | Растворы | Повышение температуры кипения разбавленного раствора равно произведению фактора Вант-Гоффа, эбуллиоскопической постоянной растворителя и моляльности. |
| Уравнение Аррениуса для констант при двух температурах | $\ln\frac{k_2}{k_1}=\frac{E_a}{R}\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)$ | Базовые химические расчеты | Двухтемпературная форма уравнения Аррениуса связывает отношение констант скорости реакции с энергией активации и двумя абсолютными температурами. |
| Ионная сила раствора: расчёт по концентрациям и зарядам ионов | $I=\frac12\sum_i c_i z_i^2$ | Растворы | Ионная сила раствора равна половине суммы произведений концентрации каждого иона на квадрат его заряда и характеризует электростатическую неидеальность раствора. |
| Правило фаз Гиббса: расчёт числа степеней свободы системы | $F=C-P+2$ | Физическая химия | Правило фаз Гиббса определяет число независимых интенсивных переменных F в равновесной системе без химических реакций и внешних полей: F=C−P+2. |
| Удельный акустический импеданс среды: z = ρc | $z_0=\rho c=\frac{p}{u}$ | Колебания и волны | Удельный характеристический акустический импеданс связывает звуковое давление и колебательную скорость частиц в плоской бегущей волне. Для однородной среды без потерь он равен произведению плотности на скорость звука. |
| Интенсивность звука через среднеквадратичное давление | $I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{\rho c}=\frac{p_{\max}^2}{2\rho c}$ | Колебания и волны | Средняя интенсивность плоской бегущей звуковой волны равна квадрату RMS-давления, делённому на ρc. Для синусоиды вместо RMS можно взять амплитуду давления, но тогда в знаменателе появляется множитель 2. |
| Частота биений двух близких звуковых частот | $f_{\mathrm{б}}=|f_1-f_2|,\qquad T_{\mathrm{б}}=\frac{1}{|f_1-f_2|}$ | Колебания и волны | Биения — периодическое усиление и ослабление суммарного колебания при сложении двух близких частот. Число максимумов огибающей в секунду равно модулю разности исходных частот, а не половине этой разности. |
| Сложение уровней шума от независимых источников | $L_{\Sigma}=10\log_{10}\!\left(\sum_{i=1}^{n}10^{L_i/10}\right)$ | Колебания и волны | Для независимых некоррелированных источников складывают линейные энергетические величины, а затем переводят сумму в децибелы. Два одинаковых уровня дают прибавку примерно 3,01 дБ, а не удвоение численного значения уровня. |
| Отражение звука на границе сред через импедансы | $r_p=\frac{z_2-z_1}{z_2+z_1},\qquad R_I=r_p^2$ | Колебания и волны | При нормальном падении плоского звука на границу двух сред амплитудное отражение давления определяется разностью и суммой их импедансов. Квадрат этого коэффициента даёт долю отражённой интенсивности для сред без потерь. |
| Интегральный закон скорости реакции первого порядка | $\ln\left(\frac{c_0}{c}\right)=kt$ | Базовые химические расчеты | Интегральный закон первого порядка связывает текущую концентрацию реагента с начальной концентрацией, константой скорости и временем. Он позволяет восстановить c, k или t по трём известным величинам. |
| Интегральный закон реакции нулевого порядка | $c=c_0-kt$ | Базовые химические расчеты | Интегральный закон нулевого порядка описывает линейное уменьшение концентрации: за равные промежутки времени расходуется одинаковое количество вещества, пока реагент не исчерпан. |
| Интегральный закон реакции второго порядка | $\frac{1}{c}-\frac{1}{c_0}=kt$ | Базовые химические расчеты | Интегральный закон второго порядка связывает обратную концентрацию реагента со временем, если скорость исчезновения задана как −dc/dt=kc². |
| Интегральное уравнение Вант-Гоффа для константы равновесия | $\ln\left(\frac{K_2}{K_1}\right)=-\frac{\Delta_rH^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$ | Физическая химия | Интегральное уравнение Вант-Гоффа оценивает изменение безразмерной константы равновесия между двумя температурами при постоянной энтальпии реакции. |
| Предельный закон Дебая—Хюккеля для среднего коэффициента активности | $\log_{10}\gamma_{\pm}=-A\lvert z_+z_-\rvert\sqrt{I_m/m^\circ}$ | Растворы | Предельный закон Дебая—Хюккеля оценивает средний коэффициент активности электролита по ионной силе, зарядам и параметру растворителя в разбавленном растворе. |
| Корреляция Спирмена: связь между рангами величин | $r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов. |
| Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары | $\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}$ | Описательная статистика | Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей. |
| Медианное абсолютное отклонение MAD: устойчивый разброс | $m=\operatorname{med}(x_1,\ldots,x_n),\qquad MAD=\operatorname{med}_{i}|x_i-m|$ | Описательная статистика | MAD — медиана абсолютных расстояний наблюдений от медианы выборки. Эта мера разброса меньше реагирует на отдельные крайние значения, чем стандартное отклонение, и сохраняет единицы исходной величины. |
| Усечённое среднее: симметричное удаление крайних значений | $\bar{x}_{\mathrm{trim}}=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}$ | Описательная статистика | Усечённое среднее получают, удалив одинаковое число наименьших и наибольших наблюдений, а затем усреднив оставшиеся. Параметр k задаёт число удалений с каждого края, а не общее число отброшенных значений. |
| Винзоризированное среднее: замена крайних значений | $\bar{x}_W=\frac{kx_{(k+1)}+\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}+kx_{(n-k)}}{n}$ | Описательная статистика | Винзоризированное среднее ограничивает влияние хвостов: k нижних значений заменяют ближайшей оставшейся границей, k верхних — верхней границей. Количество наблюдений и знаменатель n сохраняются. |
| TOROW в Excel: превратить массив в одну строку | $\texttt{=TOROW(array,[ignore],[scan\_by\_column])}$ | Базовые формулы Excel | TOROW разворачивает прямоугольный массив в одну горизонтальную разлившуюся строку, сохраняя порядок по строкам или переключаясь на обход по столбцам. |
| WRAPROWS в Excel: собрать список в строки фиксированной длины | $\texttt{=WRAPROWS(vector,wrap\_count,[pad\_with])}$ | Базовые формулы Excel | WRAPROWS раскладывает одномерный вектор по строкам с заданным числом элементов, а недостающие позиции заполняет выбранным значением. |
| WRAPCOLS в Excel: разложить список по столбцам | $\texttt{=WRAPCOLS(vector,wrap\_count,[pad\_with])}$ | Базовые формулы Excel | WRAPCOLS превращает одномерный список в матрицу, заполняя каждый столбец сверху вниз. Аргумент wrap_count задаёт высоту столбца, а pad_with заполняет недостающие позиции последней колонки. |